Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, dann können wir mal anfangen. Ich begrüße Sie. Wir machen mit den Differentialgleichungen

weiter. Wir haben ja schon einige Lösungsverfahren kennengelernt, die Trennung der Variablen und die

Variation der Konstanten. In der letzten Vorlesung mit der Variation der Konstanten können wir ja

lineare Differentialgleichungen in erster Ordnung lösen. Ich wiederhole nochmal das Lösungsschema.

Bei der Variation der Konstanten betrachten wir eine lineare Differentialgleichung. Die hat folgenden

Typ y' an der Stelle x ist das Produkt aus P von x und y von x und dazu kommt noch eine Funktion R

von x. Das ist also so eine affin lineare Funktion von y, die gibt die Ableitung y' von x. Wenn die

Funktion R von x gleich 0 ist, dann nennt man das eine homogene lineare Differentialgleichung. Dann

ist die 0, y gleich 0 immer eine Lösung. Aber es gibt dann auch andere Lösungen der homogenen

Differentialgleichung und im ersten Schritt sucht man eine nicht triviale Lösung dieser homogenen

Differentialgleichung. Dazu braucht man eine Stammfunktion dieses Faktors klein p und wenn

man dann die Exponentialfunktion mit der Stammfunktion verketet, liefert das eine Lösung der homogenen

Differentialgleichung. Schritt 1 ist folgender. Bestimme eine nicht triviale Lösung der

homogenen Differentialgleichung. Die Differentialgleichung ist y'h von x ist gleich p von x mal y'h von x.

Das h steht hier für homogen. Bei dieser homogenen Differentialgleichung kann man ja die Variablen

trennen. Wir können jetzt durch das yh dividieren und dann haben wir getrennte Variablen und können

links die Stammfunktion bezüglich y bilden und rechts müssen wir die Stammfunktion dieser Funktion

p von x suchen und dann erhalten wir als homogene Lösung y'h von x zum Beispiel e hoch und dann das

Integral von p von x dx. Das erhält man mit Trennung der Variablen. Ich sage das ist zum Beispiel eine

Lösung, weil für die homogene Differentialgleichung ja auch alle Vielfachen, also zum Beispiel das

Dreifache oder das Vierfache oder das Wurzelzweifache Lösungen sind. Der Lösungsraum ist hier ja

eindimensional und hier das ist sozusagen eine Basisfunktion. Im Schritt 2 kommt jetzt die Funktion

r von x ins Spiel. Mit der Funktion r von x definiert man ja die inhomogene Differentialgleichung und im

Schritt 2 sucht man eine Lösung, eine particuläre Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung.

Schritt 2 bestimme eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Und da kommt dieser Ansatz der Variation der Konstanten ins Spiel. Wie gesagt sind ja auch alle

Vielfachen von y'h von x Lösungen der Homogengleichung und bei der Variation der Konstanten betrachtet man

hier ein Vorfaktor vor der homogenen Lösung, der aber auch x abhängig ist. Das ist die variierte

Konstante, die nennen wir c von x und das c von x müssen wir so berechnen, dass die Differentialgleichung

erfüllt wird. Berechne dazu die variierte Konstante c von x. Wenn man das Produkt aus c von x und y'h

von x ableitet, dann macht man das mit der Produktregel. Das liefert dann eine Summe aus zwei Termen und der

zweite Term muss dann dieses r von x in der inhomogenen Differentialgleichung geben. Und daraus aus

dieser Bedingung bekommt man eine Gleichung für c' von x, also die Ableitung von diesem Faktor c von x.

Die Gleichung ist c' von x ist der Quotient r von x dividiert durch die homogene Lösung y'h von x. Und

wenn man das c von x hat, dann kann man die particuläre Lösung als das Produkt aus c von x

und der homogenen Lösung ausrechnen. y'p von x ist gleich c von x multipliziert mit y'h von x. Und aus

diesen beiden Bausteinen der nicht trivialen Lösung der homogenen Gleichung und der particulären Lösung

y'p von x der inhomogenen Gleichung kann man jetzt die allgemeine Lösung der inhomogenen gegebenen

Differentialgleichung berechnen. Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung hat die

Form y von x ist die Summe aus dieser particulären Lösung y'p von x. Und dann kommen noch Vielfache der

Homogenlösung y'h von x dazu. Also y'p von x plus alpha mal y'h von x und dabei ist alpha eine reelle Zahl.

Das Grundprinzip ist also das Grundprinzip der Lösung von linearen Problemen. Wenn sie da eine

rechte Seite haben, die nicht Null ist, dann ist die Differenz zweier Lösungen immer eine Lösung des

homogenen Problems, wo die rechte Seite Null ist. Und so erhält man diese allgemeine Lösung. Das ist

die Summe aus einer beliebig gewählten Lösung der inhomogenen Gleichung, der inhomogenen

Gleichung. Und dazu kommt das Alphafache, also irgendein Vielfaches der nicht trivialen Lösung der

homogenen Differentialgleichung plus alpha mal nicht triviale Lösung der homogenen Gleichung. Bei

dieser Darstellung ist es also egal, welche particuläre Lösung sie hier nehmen. Das ändert

dann nur den Wert von alpha. Aber alpha durchläuft ja ohnehin alle reellen Zahlen und somit spielt es